半径分别为x,y,z的三圆圆A, 圆B, 圆C两两外切，且都和半径为t的圆O内切，求证:
3t≥x+y+z+2√(yz+zx+xy)

半径分别为x,y,z的三圆圆A, 圆B, 圆C两两外切，且都和半径为t的圆O内切，求证:
3t≥x+y+z+2√(yz+zx+xy) (1)

为证上述命题，首先给出一个引理:设P是三角形ABC平面上任一点，BC=a,CA=b,AB=c,则有:
(PA+PB+PC)^2≥2bc+2ca+2ab-a^2-b^2-c^2 (2)

下面根据上述引理来证明不等式(1).
证明 连BC,CA,AB,OA,OB,OC，则有
BC=y+z, CA=z+x, AB=x+y, OA=t-x, OB=t-y, OC=t-z.
在三角形ABC中,根据上述引得理不等式(2)得:
(t-x+t-y+t-z)^2≥2(z+x)*(x+y)+2(x+y)*(y+z)+2(y+z)*(z+x)-
(y+z)^2-(z+x)^2-(x+y)^2.
<==> [3t-(x+y+z)]^2≥4(yz+zx+xy)
<==> 3t-(x+y+z)≥2√(yz+zx+xy)
<==> 3t≥x+y+z+2√(yz+zx+xy) .
命题得证。