1831年，高斯把原来的有理整数的概念加以推广而建立了一种全新的整数概念，即形如：a+bi的数，其中a、b是通常的整数。为了与通常整数区别，我们可称之为复整数。高斯对于复整数引进加法、减法及乘法，发现它们也具有通常有理整数的性质。只是有理整数的单位1、－1，现在变成4个，即1、－1、i、-i。高斯的重要贡献在于他把通常整数的唯一因子分解定理推广到复整数上，从而开辟了代数数论的新领域。然后他定义，如果一个复整数不是单位，也不能表示为两个单位复整数的乘积，他称它为素数。由这个意义，显然通常的复合数仍然是复合数，但通常的却不一定仍是素数。
一般地讲，4n+1型素数p都不再是素数。
另一方面，高斯证明，4n+3型的素数在复整数中仍是素数。然后，他对复整数引进欧几里得算法并证明唯一因子分解定理。