问题: 几何问题
设P为三角形ABC的BC延长线上一点，满足:PB/PC=AB^2/AC^2。
求证 PA与圆ABC相切.
解答:
设P为三角形ABC的BC延长线上一点，满足:PB/PC=AB^2/AC^2。
求证 PA与圆ABC相切.
证明 由已知条件及余弦定理得:
AB^2/AC^2=PB/PC=2PA*PB*cosP/(2PA*PC*cosP)
=(PA^2+PB^2-AB^2)/(PA^2+PC^2-AC^2).
应用等比定理得:
PB/PC=(PA^2+PB^2)/(PA^2+PC^2).
<==> (PB-PC)*(PA^2-PB*PC)=0
由于PB≠PC,所以PA^2=PB*PC,
由切割线定理逆定理知PA切圆ABC于A.证毕。
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