在ΔABC中，点M，N在边BC上，且∠BAM=∠CAN，求证:
AM*AN=AB*AC-√BM*BN*CN*CM.

在ΔABC中，点M，N在边BC上，且∠BAM=∠CAN，求证:
AM*AN=AB*AC-√BM*BN*CN*CM.

证明 作ΔABC的外接圆,延长AM,AN，分别交ΔABC的外接圆于E,F，连BE,CF。
由ΔABE∽ΔANF，得:AE/AC=AB/AN <==> AB*AC=AE*AN; (1)
由ΔABM∽ΔACF，得:AB/AM=AF/AC <==> AB*AC=AM*AF. (2)
因为AE=AM+ME, AF=AN+NF，所以
AB*AC=(AM+ME)AN=AM*AN+ME*AN; (3)
AB*AC=(AN+NF)AM=AM*AN+NF*AM. (4)
由(3),(4)得:
(AB*AC-AM*AN)^2=AM*AN*ME*NF (5)
由相交弦定理得:
BM*CM=AM*ME, CN*BN=AN*NF,
故得:BM*BN*CN*CM=AM*AN*ME*NF (6)
由(5),(6)得:
AM*AN=AB*AC-√BM*BN*CN*CM.证毕。