问题: 椭圆
直线x/4+y/3=1与椭圆x^2/16+y^2/9=1相交于A,B两点,P为椭圆上动点,△PAB的面积的最大值
解答:
直线x/4+y/3=1与椭圆x^2/16+y^2/9=1相交于A,B两点
A(0,3) B(4,0)
P为椭圆上动点
当平行与直线x/4+y/3=1且与椭圆x^2/16+y^2/9=1相切的远点,△PAB的面积的最大
设 y=-3/4x+b
x^2/16+y^2/9=1
解得 b^2=45 b=3√5(舍弃） b=-3√5
直线y=-3/4x-3√5与x,y上的交点为 C(-4√5,0) D(0,-3√5)
由B点向y=-3/4x-3√5引垂线垂足为E 则三角形BEC是直角三角形
因 tanβ=k=-3/4 即 Sinβ=3/5
|AB|=√[(4-0)^2+(0-3)^2]=5
三角形PAB的高=|BC|*Sinβ=(4+4√5)*3/5
S=1/2|AB|*|BC|*Sinβ=1/2*5*4(1+√5)*3/5=6(1+√5)
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