问题: 已知{an}满足a1=1,a2=2,a(n+2)=an+1+2an写出{an}的前六项并猜想{an}
已知{an}满足a1=1,a2=2,a(n+2)=an+1+2an写出{an}的前六项并猜想{an}的通项公式
解答:
已知 a(1)=1,a(2)=2,a(n+2)=a(n+1)+2a(n)，求{a(n)}的通项。
记 b(n)=a(n+1)+a(n)，则 b(1)=3。
由于 a(n+2)=a(n+1)+2a(n)
可化为 a(n+2)+a(n+1)=2[a(n+1)+a(n)]，
即 b(n+1)=2b(n)，所以{b(n)}是以2为公比的等比数列，
根据b(1)=3，所以可知 b(n)=3*2^(n-1)。
即 a(n+1)+a(n)=3*2^(n-1)。
记 p(n)=a(n)-2^(n-1)，p(1)=0。
由于 a(n+1)+a(n)=3*2^(n-1)
可化为 a(n+1)+a(n)=2^n+2^(n-1)。
即 p(n+1)=-p(n)，p(1)=0，
所以 p(n)=0，从而可肯定 a(n)=2^(n-1)。
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