某种产品具有一定的时效性.由市场调查可知:在不作广告宣传且每件获利a元的前提下可卖出b件;若作广告宣传,广告费为n(n大于等于1)千元时比广告费为(n-1)千元时多卖出b/(2^n)件.设作n千元广告时的销售量为Sn.(1)试写出销售量与n的函数关系式;(2)当a=10 b=4000时,厂家应生产多少这种产品,做几千元广告,才能获取最大利润？

某种产品具有一定的时效性.由市场调查可知:在不作广告宣传且每件获利a元的前提下可卖出b件;若作广告宣传,广告费为n(n≥1)千元时比广告费为(n-1)千元时多卖出b/(2^n)件.设作n千元广告时的销售量为Sn.(1)试写出销售量与n的函数关系式;(2)当a=10 b=4000时,厂家应生产多少这种产品,做几千元广告,才能获取最大利润？

（1）S(n) = b[1+1/2+1/4+...+1/2^n] = b[2-1/2^n]
（2）利润W(n) = a×S(n)-n ...................（单位：千元）
　　　　　 = 0.01*4000(2-1/2^n)-n
　　　　　 = (80-n)-40/2^n

【关键】现在必须求出满足 W(n)-W(n-1)＞0 的最大n。
即 [(80-n)-40/2^n]-[80-(n-1)-40/2^(n-1)]＞0，
满足 40＞2^n 的最大n等于5。

【结论】厂家应生产7875件这种产品,做5千元广告,能获取最大利润【W(5)=73750元】


【对神机真人解答的评价说明】这里目标函数W（n）的自变量n是离散的整标变量，W（n）本质是一个数列。
中学数学里，对数列是不能求导的。
在大学经济数学里W'(n)是对离散变量n连续化处理后，定义的“边际利润”的概念。
单增，单减，很难说明。遇到驻点不是整数，还要在靠近驻点附近的整数点处摸索。