问题: 不等式
己知 a,b,c>0
求证
a^2/(b^2+c^2+bc)+b^2/(a^2+c^2+ac)+c^2/(a^2+c^2+ab)>=1
解答:
己知 a,b,c>0
求证
a^2/(b^2+c^2+bc)+b^2/(a^2+c^2+ac)+c^2/(a^2+c^2+ab)>=1
证明 因为
a^2/(b^2+c^2+bc)≥(2/3)*[a^2/(b^2+c^2);
b^2/(a^2+c^2+ac)≥(2/3)*[b^2/(c^2+a^2);
c^2/(a^2+c^2+ab)≥(2/3)*[c^2/(a^2+b^2).
而柯西不等式得
a^2/(b^2+c^2)+b^2/(a^2+c^2)+c^2/(a^2+c^2)≥
(a^2+b^2+c^2)^2/[(b^2+c^2)a^2+(a^2+c^2)b^2+(a^2+c^2)c^2]
可只需证
2(a^2+b^2+c^2)^2≥3[(b^2+c^2)a^2+(a^2+c^2)b^2+(a^2+c^2)c^2]
<===>
a^4+b^4+c^4≥(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2.
上式显然成立.即
a^2/(b^2+c^2)+b^2/(a^2+c^2)+c^2/(a^2+c^2)≥3/2
因此
a^2/(b^2+c^2+bc)+b^2/(a^2+c^2+ac)+c^2/(a^2+c^2+ab)
≥(2/3)*[a^2/(b^2+c^2)+b^2/(a^2+c^2)+c^2/(a^2+c^2)]
≥(2/3)*(3/2)=1.
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