问题: 高2 数学题一道
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解答:
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解：(1)由题设有m>0,c=√m.
设点P的坐标为(x0,y0),由PF1⊥PF2,
得 y0/(x0-c)·y0/(x0+c)=-1
化简得 x0²+y0²=m……(1)
将(1)与x0²/(m+1)+y0²=1联立,
解得 x0²=(m²-1)/m,y0²=1/m.
由m>0,x0²=(m²-1)/m≥0,得m≥1.
所以m的取值范围是m≥1.
(2)准线L的方程为x=(m+1)/√m.设点Q的坐标为(x1,y1),则
x1=(m+1)/√m.
|OF2/PF2|=(x1-c)/(c-x0)=[(m+1)/√m-√m]/(√m-x0)……(2)
将x0=√[(m²-1)/m]代入(2)化简得
|OF2/PF2|=1/[m-√(m²-1)]=m+√(m²-1).
由题设|OF2/PF2|=2-√3，
得m+√(m²-1)=2-√3无解.
将x0=-√[(m²-1)/m]代入(2)化简得
m-√(m²-1)=2-√3
解得m=2
从而x0=-√(3/2),y0=±√2/2,c=√2,
得到PF2方程y=±(√3-2)(x-√2).
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