问题: 请教有关函数问题
求证:
(1)若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a),则f(x)的周期为2a
(2)函数y=f(x-a)与函数y=f(a-x)图象关于直线x=a对称
LOGaN=b(a>0,a不等于1,N>0)
为什么a不能小于0,同时N<0
例如当a=-2时,N=-8时,那么b=2.这式子不是成立吗?
解答:
(1)先证f(x+a)=f(x-a)与f(x)=f(x+2a)的等价性:
令 t=x-a,则x=t+a,x+a=t+2a,由f(x+a)=f(x-a),得f(t)=f(t+2a),即有 :f(x)=f(x+2a).
再根据周期函数的定义,f(x)的周期为2a.
(2)先说关于直线x=a对称的两点的特征:点(x,y)关于直线x=a的对称点的坐标为(2a-x,y).
要证原命题成立,需证y=f(x-a)的图象上任意一点关于直线x=a的对称点在y=f(a-x)的图象上;且y=f(a-x)的图象上任意一点关于直线x=a的对称点在y=f(x-a)的图象上.
在y=f(x-a)的图象上任取一点P(x,y),则有y=f(x-a);它关于直线x=a的对称点Q的坐标为(2a-x,y),因为a-(2a-x)=x-a ,故y=f(x-a)=f(a-(2a-x)).所以点Q在y=f(a-x)的图象上.
同理可证y=f(a-x)的图象上任意一点关于直线x=a的对称点在y=f(x-a)的图象上.
从而得证.
(3)这需要理解好对数的定义,以及幂的规定,好好看看书吧.
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