问题: 高中数学:【利用导数证明】
利用导数证明 1+2•2+3•2^2+4•2^3+⋯⋯+n•2^(n-1)=(n-1) 2^n+1
解答:
多项式分式形如n*x^(n-1)的形式，故可设：
f(x)=x+x^2+x^3+...+x^n.
计算f(x)=x+x^2+x^3+...+x^n=x*(1+x+x^2+...+x^(n-1))=x*(1-x^n)/(1-x).
求f'=1+2x+3x^2+...+n*x^(n-1)=[x*(1-x^n)/(1-x)]'=(1-x^n)/(1-x)+x*[(1-x^n)/(1-x)]'=(1-x^n)/(1-x)+x*[-n*x^(n-1)(1-x)+(1-x^n)]/(1-x)^2=-n*x^n/(1-x)+(1-x^n)/(1-x)^2.
令x=2,左边即为1+2*2+3*2^2+...+n*2^(n-1)=n*2^n+1-2^n=(n-1)*2^n+1.
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