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问题: 数学奥赛压轴题

在1至205这205个整数中,请找出尽量多的这样一组数:在这组数中,任意取出三个数a b c,使ab不等于c,这样的数有几个?
(请留下过程)

解答:

P={1,14,15,16,...203,204,205},P有 205-12=193个数
P满足在这组数中,任意取出三个数a b c,使ab不等于c,的性质,
因为14*15>205.
而2,3,4,。。,11,12,13中的数加入P不满足在这组数中,任意取出三个数a b c,使ab不等于c,的性质,若满足这性质必从P中取出数,如加13,则必从
{14,13*14}和{15,13*15}两组数中每组数至少取1个数,即至少取两个数。
所以P满足在这组数中,任意取出三个数a b c,使ab不等于c,的性质最多的数组,
有 205-12=193个数。

详细说明:若P’是最多的数组,则最多有12个数不在P’,设k在P’,k<l,
若k*l≤205,则数组{l,k*l}中只1数在P’,利用这原理,2,3,。。9
这8数定不在P’,10,11,12,的数组{l,k*l}个数≥5,加上已有的8数,
说明10,11,12,定不在P’,对于13有{14,13*14}和{15,13*15}两组数,
加上已有的11数,说明13定不在P’,所以P’=P。