实数域上任一可逆矩阵A，

都可以表示成一个正交矩阵T与一个上三角矩阵B的乘积，即A=TB，并且B的主对角元大于零。

1.
设A=(a1,a2,..,an),由于A可逆,
所以{a1,a2,..,an}为R^n的一个基.
使用Schimdt正交化的方法,得到一个标准正交基{b1,b2,..,bn},
且
b1=β1a1
b2=β2a2+α(2,2)b1
....
bn=βnan+α(n,2)b1+..+α(n,n-1)b1
其中βi>0,
并且显然有,当i>j时,<bi,aj>=(bi)^taj=0
<bi,ai>=<bi,bi>=1/βi>0.

2.
设正交矩阵T=(b1,b2,...,bn)
==>
T^(-1)A=T^tA=B=(c(ij)),
其中c(ij)=<bi,aj>,
==>
当i>j时,c(ij)=<bi,aj>=0
c(ii)=<bi,ai>=1/βi>0.
所以B是上三角矩阵,其主对角元大于零。