向高为8M,底面边长为8M的倒放的正四棱锥内注水,其速度为4M3/MIN,求当水深为5M时,水面上升的速度.



注:要详细过程哦.最好不要用导数公式来算.
答案是0.16M/S

棱椎的体积公式：
V = a^2*h/3;
a为底边，h为高， V是正四棱椎的体积；

由题设， a = h = 8M;
设注水后，水深x(高), 则水面的长和宽都是 x,
体积为：V1 = x^3/3;
而注水速度 v = 4,

从而
从t1到t2时刻，注入的水量为V2 = 4(t1-t2);
从t1到t2时刻，水面的高度增加h1,
V2 = (x+h1)^3/3 - x^3/3;
4(t1-t2) = ((x+h1)^3-x^3)/3;
((x+h1)^3-x^3)/(t1-t2) = 12;

水面上升的速度是 s=((x+h1)-x)/(t1-t2);

由于：
(x+h1)^3 -x^3
=((x+h1)-x)*((x+h1)^2+x^2+x(x+h1));

故上升的速度是：
s = ((x+h1) -x)/(t1-t2)
= 12/((x+h1)^2+x^2+x*(x+h1));
当x = 5, 令 t2-t1 -->0, h1-->0,

即水深为5M时的上升速度，
s = 12/(3*5^2) = 4/25 = 0.16 M/s

当水深为5M时,水面上升的速度0.16M/S.