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【哈佛大学思维问答】正方形里的正方形

时间:2013-10-28 来源:侨谊留学 作者:侨谊留学 浏览量:2055

问题:将一个正方形的每条边都 三等分,就可以得到9个小正方形,如图1所示。将最中间的小正方 形涂成黄色。接下来将剩余的8个蓝色小正方形用同样的方法分别分成9个更小的正方形,将中间的小正方形也分别涂成黄色。如果无限重复这个过程,最后黄色部分的面积与最初的蓝色正方形的面积之间有怎样的关系?

答案:如果不断重复这个过程,那么最终的结果就是黄色部分的面积将会一直增 加,直到它的面积最后等于原来正方形的面积。这个结果听上去令人摸不着头脑,但是这种结果在处理无限问题的时候并不算是非常特殊的。第1次分割:新出现1个黄色正方形,其面积为1/9 0.111;第2次分割:新出现8个黄色正方形,其面积分别为(1/9)2。因此此次分割后黄色部分的总面积为8 × (l/9)2+ 0.111 0.2090第3次分割:新出现82个黄色正方形,其面积分别为(1/9)3,此次分割后黄色部分的总面积等于82 × (l/9)3+ 0.209 电0.297第4次分割:新出现83个黄色正方 形,其面积分别为(1/9)4,此次分割后黄色部分的总面积等于83 × (1/9)4+ 0.297 0.375这个图形变得逐渐清晰。黄色部分的总面积是一个无限的数,它等于:1/9+8 × (l/9)2 + 82 × (l/9)3 +83 × (l/9)4 +…如果我们根据这个式子算到第25次分割,黄色部分的面积总和就已经约为0.947,这个数字与原正方形的面积1已经非常接近了。

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