给定函数f(x)=x^2+ax+b,设p、q是满足 p+q=1的实数.
证明：若对于任意的实数x, y均有：pf(x)+qf(x)≥f(px+qy),则0≤p≤q.

pf(x)+qf(y)=px²+apx+bp+qy²+aqy+bq
```````````=px²+qy²+apx+aqy+b
f(px+qy)=p²x²+2pqxy+q²y²+apx+aqy+b

pf(x)+qf(y)-f(px+qy)=(p-p²)x²+(q-q²)y²+2pqxy
=p(1-p)x²+q(1-q)y²+2pqxy

当0≤p≤1, 由于p+q=1, 0≤q≤1.
那么p(1-p)x²+q(1-q)y²+2pqxy≥0, 充分性成立

如果p<0或p>1, 那么p,q中有一个为负数, 另一个大于1.
那么p(1-p)<0, q(1-q)<0
那么p(1-p)x²+q(1-q)y²+2pqxy<0. 必要性成立

所以pf(x)+qf(x)≥f(px+qy)的充要条件是0≤p≤1