证明下列函数在（-∞,+ ∞）内是连续函数
(1) y=3x^2+1
(2) y=cosx

首先两个函数的定义域都是（-∞, +∞）

对任意的一个定值 x0 ∈（-∞, +∞）　（为打字方便，记 x0 = m）
(1)　取 m 的 δ 邻域：0 < |x-m| < δ，则 m-δ < x < m+δ（x≠m）
则 2m-δ < x+m < 2m+δ，则 |x+m| < 2|m|+δ
对任意给定的正数ε，要使
|f(x) - f(m)| ＝ |(3x²+1)-(3m²+1)|
　　　　　　　＝ 3|x²-m²|
　　　　　　　＝ 3|x+m||x-m|
　　　　　　　＜ 3(2|m|+δ)δ
　　　　　　　＜ ε
只需 δ² + 3|m|δ - ε < 0
方程 δ² + 3|m|δ - ε = 0 显然有一个正根 δ1
只需取 0 < δ < δ1
则当 0<|x-m|<δ 时，必有 |f(x) - f(m)| < ε
有函数连续的 ε-δ 定义知，函数 f(x) = 3x² + 1 在 m 点连续
故 f(x) = 3x² + 1 在（-∞, +∞）内连续

(2)　对任意给定的正数ε，要使
|f(x) - f(m)| ＝ |(cosx - cosm|
　　　　　　　＝ 2|sin[(x+m)/2]*sin[(x-m)/2]|
　　　　　　　＝ 2|sin[(x+m)/2]|*|sin[(x-m)/2]|
　　　　　　　＜ 2*1*|x-m|/2
　　　　　　　＝ |x-m|
　　　　　　　＜ ε
只需取 δ=ε
则当 0<|x-m|<δ 时，必有 |f(x) - f(m)| < ε
有函数连续的 ε-δ 定义知，函数 f(x) = cosx 在 m 点连续
故 f(x) = cosx 在（-∞, +∞）内连续