问题: 微分问题37
解答:
结论：如果曲线y＝f(x)在区间(a，b)内是凹的，则对于任意的x，y∈(a，b)，f((x＋y)/2)＜[f(x)＋f(y)]/2；如果曲线y＝f(x)在区间(a，b)内是凸的，则对于任意的x，y∈(a，b)，f((x＋y)/2)＞[f(x)＋f(y)]/2。
f(x)＝x×lnx（x＞0）。
f'(x)＝1＋lnx，f''(x)＝1/x＞0，所以曲线y＝xlnx在(0，＋∞)内是凹的，所以对于任意的x＞0，y＞0，x≠y，f((x＋y)/2)＜[f(x)＋f(y)]/2，所以(x＋y)/2×ln((x＋y)/2)＜[xlnx＋ylny]/2，即
(x＋y)×ln((x＋y)/2)＜xlnx＋ylny
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