问题: 数学问题
f(x)=-x^2+1
g(x)=f[f(x)]
F(x)=p*g(x)+q*f(x) P>0
是否存在实数p,q ,使F(x)在(负无穷,f(2))上是增函数,在(f(2),0)上是减函数
解答:
f(x) = -x²+1，f(2) = -3
当x=-3时， x² = 9
F(x) = p*g(x) + q*f(x)
= p*[-(-x²+1)²+1] + q*(-x²+1)
= p*(-x^4 + 2x²) + q*(-x²+1)
= -px^4 + (2p-q)x² + q
由 F(x) 在 (-∞, -3) 上是增函数, 在 (-3, 0) 上是减函数
得 -p < 0 且 -(2p-q)/[2(-p)] = 9
得 p > 0 且 q = -16p
（此时，f(x) = -px^4 + 18px² - 16p = -p(x²-9)² + 65p ）
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