已知圆C过点A(0,a)(a>0),在X轴上截得弦MN的长为2a
(1)求圆心C的轨迹方程
(2)设|AM|=m,|AN|=n,当a=1时 ( m/n)+(n/m) 的最大值

解：(1)设圆心C(x0,y0),半径为r,M(x1,y1),N(x2,y2),
⊙C:(x-x0)²+(y-y0)²=r²……①,
点A在圆上,所以(x0)²+(a-y0)²=r²,
在①中令y=0得:x²-2x0x+y0²-r²=0,
它的两根x1,x2是C,D的横坐标,
所以x1+x2=2x0……②,
x1x2=y0²-r²=x0²-[x0²2+(y0-a)²]=2ay0-a²……③,
因为|MN|=|x1-x2|=2a,所以(x1+x2)²-4x1x2=4a²,
把②,③代入得x0²=2ay0,
所以⊙C的轨迹方程为x²=2ay

(2)m=|AM|=√(x1²+a²),n=|AN|=|=√(x2²+a²),
记S=(m/n)+(n/m)=(m²+n²)/(mn)≥2
m²+n²=x1²+x2²+2a²=(x1+x2)²-2x1x2+2a²=2x0²+4a²,
mn=√{x1x2²+a²[(x1+x2)²-2x1x2]+a^4}=√(x0²+4a^4)
所以S=(2x0²+4a^4)/}√(x0²+4a^4),化简得
(S²-4)(x0)^4-16a²x0²+4a^4S²-16a^4=0,令x0²=t≥0,则
(S^2-4)t²-16a²t+4a^4(S²-4)=0,
△=16×16a^4-16a^4(S²-4)²≥0,解得S≤2√2
所以Smax=2√2,此时t=2a²=x0²,
所以x0=±√2,y0=x0²/2a=a,
r²=x0²+(y0-a)²=2a²,
所以此时⊙C的方程为(x±√2a)²+(y-a)²=2a²