问题: 高中数学求救
设正数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=(an+1/an)/2,试猜想出an的表达式并用数学归纳法加以证明
是否存在常数a,b,c使得等式1*2^2+2*3^2+……+n(n+1)^2=n(n+1)(an^2+bn+c)/12
解答:
解：直接求和！
因为n(n+1)²=n³+2n²+n,所以
Sn=1·2²+2·3²+……+n(n+1)²
``=(1³+2³+……+n³)+2(1²+2²+……+n²)+(1+2+……+n).
由于下列等式对一切自然数n成立
1³+2³+……+n³=n²(n+1)²/4,1²+2²+……+n²=n(n+1)(2n+1)/6,
1+2+……+n=n(n+1)/2.
由此可知Sn=n(n+1)[3n²+11n+10]/12.
综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设的等式对一切自然数n成立.
如果学过组合的话还有另一种方法.
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