有一个半椭圆形钢板，其半轴长为2r.短轴长为r,计划将此钢板切割成等腰体型的形状，下底AB是半椭圆的短轴,上底CD的端点在椭圆上,记CD=2x,梯形面积为S
(1)求面积S以x为自变量的函数式,并写出其定义域
(2)求面积S的最大值.

解：(1)以AB的中点O为原点建立直角坐标系O-xy,则点C的横坐标为x.
点C的纵坐标y满足方程x²/r²+y²/4r²=1 (y≥0),
解得y=2√(r²-x²) (0<x<r)
S=1/2·(2x+2r)·2√(r²-x²)
`=2(x+r)·√(r²-x²),
其定义域为{x|0<x<r}.

(2)记f(x)=4(x+r)²(r²-x²),0<x<r,
则f'(x)=8(x+r)²(r-2x).
令f'(x)=0,得x=r/2.
因为当0<x<r/2时,f'(x)>0;当r/2<x<r时,f'(x)<0,所以f(r/2)是f(x)的最大值.
因此,当x=r/2时,S也取得最大值3√3·r²/2.