问题: 求tanθ + cotθ的值
已知向量a=(cosθ,sinθ),b=(sinθ,cosθ)
若|xa+yb|=1(x,y为正实数),且xy的最大值为2/3,求tanθ + cotθ的值
解答:
a=(cosθ,sinθ),b=(sinθ,cosθ)
a² = b² = 1 ， a*b = 2cosθsinθ
若 |xa+yb| = 1，
则由 1 = |xa+yb|² = x²a² + y²b² + 2xya*b
= x² + y² + 4xycosθsinθ
≥ 2xy + 4xycosθsinθ
= xy(2+4cosθsinθ)
得 xy ≤ 1/(2+4cosθsinθ)
所以 xy 的最大值为 1/(2+4cosθsinθ)
由条件得 1/(2+4cosθsinθ) = 2/3
得 cosθsinθ = -1/8
故 tanθ + cotθ = sinθ/cosθ + cosθ/sinθ = (sin²θ+cos²θ)/(cosθsinθ) = -8
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