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问题: 三角形面积最小值

过椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上的点引椭圆的切线，此切线与坐标轴围城一个三角形，求此三角形面积的最小值

解答:

解：可设切点(x,y0)在第一象限,此时y=b√(a²-x²),
y'=-b²x/a²y,于是切线方程为y-y0=-bx0²(x-x0)/a²y0,
分别令x=0,y=0可得S=1/2·a²b²/x0y0=1/2·a²b/x0√(a²-x0²)
(0<x0<a),S=a²b²/√[4x0²(a²-x0²)],
设g(x0)=4x0²(a²-x0²),令g'(x0)=0,解得x0=√2·a/2,
当x0=√2·a/2时,g(x0)有最大值,此时S取最小值为ab.

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