问题: 高等数学题求解2
设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,
f(0)=f(1)且|f''(x)|<=2 ,证明在[0,1]上必有|f'(x)|<=1.
解答:
[0，1]上对f(x)使用罗尔定理，得f'(ξ)＝0，0＜ξ＜1。
对f'(x)在点x＝ξ处使用一阶泰勒公式，得
对于任意的x∈[0，1]，f'(x)＝f'(ξ)＋f''(η)/2×(x－ξ)＝f''(η)/2×(x－ξ)，η介于x与ξ之间。
所以，|f'(x)|＝|f''(η)/2×(x－ξ)|≤1
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