是否存在圆锥曲线C同时满足下列两个条件：
(1)原点O及直线x=1为它的焦点和相应的准线；
(2)被直线x+y=0垂直平分的弦长为2根号2.

解：假设存在圆锥曲线C满足条件,设圆锥曲线的离心率为e,则圆锥曲线方程为√(x²+y²)/|x-1|=e
整理得：(1-e²)x²+y²+2e²x-e²=0……(1)
设直线x+y=0垂直平分弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为M(x0,y0),
则AB的方程为：y-y0=x-x0.
因为x0+y0=1,所以AB的方程为x-y=2x0……(2)
因为A,B在曲线C上,所以
(1-e²)x1²+y1²+2e²x1-e²=0
(1-e²)x2²+y2²+2e²x2-e²=0
相减,得：(1-e²)(x1²-x2²)+(y1²-y2²)+2e²(x1-x2)=0
因为k(AB)=(y1-y2)/(x1-x2)=1代入上式
所以(1-e²)(x1+x2)+(y1+y2)+2e²=0
由x1+x2=2x0,y1+y2=2y0=-2x0,所以2e²(1-x0)=0
所以x0=1,y0=-1.
Ab的方程为x-y-2=0,代入(1)得
(2-e²)x²+(2e²-4)x+(4-e²)=0.
当2-e²=0时,直线与曲线只有一个交点,不合题意.
当2-e²≠0时,|AB|=√(1+k²)|x1-x2|
由韦达定理可求出e²=4.
所以满足条件的圆锥曲线存在,其方程为：3x²-y²-8x+4=0.