求证：如果x1,x2是方程x^2-6x+1=0的根，则x1^n+x2^n(对任意正整数n)都是整数,且不能被5整除

证明：(1)当n=1时,x1+x2=6是整数且不被5整除,故命题成立
当n=2时,x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=34是整数且不能被5整除.
设Sn=x1^n+x2^n,则Sn-6S(n-1)+S(n-2)=0,且S1是整数,S2是整数.
(2)设n<k时,Sn是整数,则Sk=6S(k-1)-S(k-2)也是整数,因此对任何n∈N+,
Sn=x1^n+x2^n都是整数.
再证Sn不能被5整除,用反证法.
假设m是第一个使Sm=x1^m+x2^m被5整除的整数,由Sm-6S(m-1)+S(m-2)=0
得Sm=5S(m-1)+[S(m-1)-S(m-2)],
则S(m-1)+S(m-2)也能被5整除.
S(m-1)=5S(m-2)+S(m-2)-S(m-3),由此得出
S(m-3)=5S(m-2)-S(m-1)+S(m-2)
所以5|S(m-3).
这与m是第一个使Sm被5整除的整数相矛盾.
由此得出,使x1^n+x2^n被5整除的n∈N+不可能存在.