问题: 已知函数f(x)满足：对一切x,y∈R，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(1)=2，则以下
已知函数f(x)满足：对一切x,y∈R，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(1)=2，则以下各式中，等于
f(1)+ f(2)+…..+ f(n)的有（）个。
①f﹛n(n+1)/2﹜; ②f(n/2)* f﹛(n+1)/2﹜; ③f(n/2)+ f﹛(n+1)/2﹜
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解答:
选C 2个
f(x+y)=f(x)+f(y)，f(1)=2
f(n+1)-f(n)=f(1)=2, f(2)-f(1)=2, f(3)-f(2)=2, f(4)-f(3)=2, …,f(n)-f(n-1)=2,把这n-1个等式累加,得
f(n)-f(1)=2+2+2+…+2=2(n-1), ∴ f(n)=2n.
f(1)+ f(2)+…..+ f(n)=2*n(n+1)/2=n(n+1)=n^+n.
而① f﹛n(n+1)/2﹜=f[(n^/2)+(n/2)]=f(n^/2)+f(n/2)=2*(n^/2)+2*(n/2)=n^+n;
②f(n/2)* f﹛(n+1)/2)=f(n/2)*f[(n/2)+(1/2)]=f(n/2)*[f(n/2)+f(1/2)=2*(n/2)[2*(n/2)+2*(1/2)]=n(n+1);
③f(n/2)+ f﹛(n+1)/2﹜=f(n/2)+f[(n/2)+(1/2)]=f(n/2)+[f(n/2)+f(1/2)=2*(n/2)+[2*(n/2)+2*(1/2)]=n+(n+1)=2n +1.
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