求函数f(x)=a根号(sinx)+b根号(cosx)在(0,pi/2)上的最大值,a,b为正常数.

解：由柯西不等式很容易的.
两次使用柯西不等式,得
f(x)²=(a√sinx+b√cosx)²
`````=(a/m·m√sinx+b/n·√cosx)²
`````≤[(a/m)²+(a/n)²]²·(m²sinx+n²cosx)
`````≤[(a/m)²+(a/n)²]²·√(m^4+n^4)
其中m>0,n>0待定,等号成立当且仅当
m²√sinx/a=n²√cosx/b
sinx/m²=cosx/n²
即√tanx=(a/b)(n/m)²,tanx=(m/n)².
∴√(m/n)²=(a/b)(n/m)².
∴m/n=(a/b)^(1/3),tanx=(a/b)^(2/3).
取m=(a)^(1/3),n=(b)^(1/3),则当arctan[(a/b)^(2/3)]时,
f(x)max=√{[(a/m)²+(a/n)²]√(m^4+n^4)}
```````=[a^(4/3)+b^(4/3)]^(3/4).