问题: 求弦长
已知圆C:(x-1)^2+(y-2)^2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4 (m为实数).
(1)证明：不论m取什么实数,直线l与圆C相交
(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程
解答:
解：(1)直线l的方程为(x+y-4)+m(2x+y-7)=0,
由x+y-4=0 2x+y-7=0解得x=3,y=1.故直线恒过定点(3,1).
将(3,1)代入圆C的方程左端有(3-1)²+(1-2)²=5<25,即点(3,1)在圆内部.
所以不论m取任何实数,直线l与圆C相交.
(2)直线l过定点M(3,1)且与过此点的圆C的半径垂直时,l被圆C所截得的弦长|AB|最短.|AB|=2√(R²-|CM|²)=4√5,由k1=-1/k(CM) ===> m=-3/4,
故l的方程为：2x-y-5=0.
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