求a的取值范围，使得对任意实数x和任意A属于[0,pi/2]恒有(x+3+2sinAcosA)^2+(x+asinA+acosA)^2>=1/8.

解：原不等式等价于(3+2sinAcosA-asinA-acosA)²≥1/4 x∈[0,π/2]……(1)
由(1)得a≥(3+2sinAcosA+1/2)/(sinA+cosA)……(2)
或者a≤(3+2sinAcosA-1/2)/(sinA+cosA)……(3)
在(2)中,√2≥sinA+cosA≥1
(3+2sinAcosA+1/2)/(sinA+cosA)=(sinA+cosA)+3/[2(sinA+cosA)]
显然当1≤x≤√2时,f(x)=x+5/2x为减函数,从而上式最大值为f(x)=1+5/2=7/2.
由此可得a≥7/2.
在(3)中,由于
(3+2sinAcosA-1/2)/(sinA+cosA)=(sinA+cosA)+3/[2(sinA+cosA)]
≥2√(3/2)=√6.
当且仅当sinA+cosA=√6/2时,等号成立,从而
(3+2sinAcosA-1/2)/(sinA+cosA)最小值为√6.
所以a≤√6.
综上所述a≥7/2 或者 a≤√6.