问题: 求极限
lim x趋向于1时:(1-x)tan[(πx)/2]
解答:
介绍两种方法：
1.洛必达法则
lim<x→1>(1-x)tan[(πx)/2]
=lim<x→1>(1-x)/cot[(πx)/2]
=lim<x→1>(-1)/{-(π/2)[csc(πx/2)]^2}
=(2/π)lim<x→1>[sin(πx/2)]^2
=(2/π)[sin(π/2)]^2
=2/π
2.等价代换
令t=1-x，则x=1-t
原式=lim<t→0>ttan[(π(1-t))/2]
=lim<t→0>ttan[(π/2)-(πt/2)]
=lim<t→0>tcot(πt/2)
=lim<t→0>t/tan(πt/2)
=(2/π)lim<t→0>(πt/2)/tan(πt/2)
=2/π(等价无穷小代换)
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