问题: 帮忙做题
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解答:
解：这是一个二重积分.因为积分域关于坐标轴对称,故只在第一象限内积分.
先对x积分,积分限：下限：0;上限：√(R²-x²)
再对x积分：下限：0;上限：R.
原式=4∫(0,R)dx∫(0,√(R²-x²))(x³+xy²)dy
=4∫(0,R)[(x³)√(R²-x²)－(x/3)(R²-x²)^(3/2)]dx
=(4/3)∫(0,R)[4x³-(R²)x][√(R²-x²)]dx
=(4/3){-(4/15)(3x²+2R²)(R²-x²))^(3/2)+(1/15)(r²-x²)^(3/2)}|(0,R)
=(4/3){(4/15)(2R^5)-(1/15)(R³)}
=(4/45)(8R^5-R³)
(从第3步到第4步直接套用了积分公式,过程省略了.)
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