河北省2002年初中生升学统一考试
数学试卷
　　一、填空题（本大题10个小题；每个小题2分，共20分）
　　1． 的相反数__________．
　　2．分解因式：a2＋b2－2ab－1＝__________．
　　3．若│x－2│＋ ＝0，则xy＝__________．
　　4．已知方程x2－5x－ ＝2．用换元法解此方程时，如果设y＝ ，那么得到关于y的方程是__________．（用一元二次方程的标准形式表示）
　　5．已知两圆半径分别为4和5．若两圆相交，则圆心距d应满足__________．
　　6．某种收音机，原来每台售价48元，降价后每台售价42元，则降价的百分数为______．
　　7．如图1，已知O是□ABCD的对角线交点，AC＝38mm，BD＝24mm，AD＝14mm，那么△OBC的周长等于__________．

图1
　　8．北京至石家庄的铁路长392千米，为适应经济发展，自2001年10月21日起，某客运列车的行车速度每小时比原来增加40千米，使用石家庄至北京的行车时间缩短了1小时，如果设该列车提速前的速度为每小时x千米，那么为求x所列出的方程为__________．
　　9．有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的 ．若下底长为x，高为y，则y与x的函数关系式是__________．
　　10．如图2，某建筑物BC直立于水平地面，AC＝9米．要建造梯AB，使每阶高不超过20厘米，则此阶梯最少要建______阶．（最后一阶的高不足20厘米时，按一阶计算； 取1.732）

图2
　　二、选择题（本大题共10个小题；每个小题2分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把符合题目要求的选项前的字母填写在题后的括号内）
　　11．在下列计算中，正确的是 （　　）
　　  （A）（ab2）3＝ab6 （B）（3xy）3＝9x3y3
　　  （C）（－2a2）2＝－4a4 （D）（－2）－2＝
　　12．不等式组 的解集是 （　　）
　　  （A）x＞1 （B）x＜6
　　  （C）1＜x＜6 （D）x＜1或x＞6
　　13．如果把分式 中的 x和y都扩大3倍，那么分式的值 （　　）
　　  （A）扩大3倍 （B）不变
　　  （C）缩小3倍 （D）缩小6倍
　　14．在下列式子中，正确的是 （　　）
　　  （A） （B）
　　  （C） （D）
　　15．将二次三项式x2＋6x＋7进行配方，正确的结果应为 （　　）
　　  （A）（x＋3）2＋2 （B）（x－3）2＋2
　　  （C）（x＋3）2－2 （D）（x－3）2－2
　　16．如图3，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F．过点F作DF‖BC，交AB于点D，交AC于点E．若BD＋CE＝9，则线段DE的长为 （　　）
　　  （A）9 （B）8 （C）7 （D）6

图3
　　17．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 （　　）
　　  （A） （B）3 （C）6 （D）9
　　18．如图4，AB是⊙O直径，CD是弦．若AB＝10cm，CD＝8cm，那么A、B两点到直线CD的距离之和为 （　　）

图4
　　  （A）12cm （B）10cm （C）8cm （D）6cm
　　19．如图5所示，二次函数y＝x2－4x＋3的图像交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为 （　　）

图5
　　  （A）6 （B）4 （C）3 （D）1
　　20．某工件形状如图6所示，圆弧BC的度数为60º，AB＝6cm，点B到C的距离等于AB，∠BAC＝30º，则工件的面积等于 （　　）

图6
　　  （A）4π （B）6π （C）8π （D）10π
　　三、（本大题共2个小题；每个小题8分，共16分）
　　21．已知x＝ －1，y＝ ＋1．求 的值．
　　
　　
　　22．如图7，在梯形ABCD中，已知AB∥DC，AD＝BC，AC、BD相交于点O．求证：OD＝OC．

图7
　　
　　
　　四、（本大题共2个小题；每个小题8分，共16分）
　　23．某机械传动装置在静止状态时，如图8所示．连杆PB与点B运动所形成的⊙O交于点A，测量得PA＝4cm，AB＝5cm，⊙O半径为4.5cm．求点P到圆心O的距离．

图8
　　

　　24．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的面绩情况如图9所示．

图9
　　（1）请填写下表：
平均数 方差 中位数 命中9环比上次数
甲 7 1.2 1
乙 5.4
（2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析．
　　①从平均数和方差相结合看：
　　
　　
　　②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）：
　　
　　
　　③从平均数和命中9环以上的次数相结合看（分析谁的成绩好些）：
　　
　　
　　④从折线图上两人射击命中环数的走势看（分析谁更有潜力）：
　　
　　
　　五、（本题满分12分）
　　25．图10表示一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地行驶过程的函数图像（分别为正比例函数和一次函数）．两地间的距离是80千米．请你根据图像回答或解决下面的问题：

图10
　　（1）谁出发的较早？早多长时间？谁到到达乙地较早？早到多少时间？
　　（2）两人在途中行驶的速度分别是多少？
　　（3）请你分别求出表示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
　　（4）指出在什么时间段内两车均行驶在途中（不包括端点）；在这一时间段内，请你分别按下列条件列出关于时间x的方程或不等式（不要化简，也不要求解）：①自行车行驶在摩托车前面；②自行车与摩托车相遇；③自行车行驶在摩托车后面．
　　
　　
　　六、（本题满分12分）
　　26．图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均b）：

图11－1图11－2图11－3
　　●在图11－1中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）；
　　●在图11－2中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）．
　　（1）在图11－3中，请你类似地画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；
　　（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：
　　S1＝__________，S2＝__________，S3＝__________．
　　（3）联想与探索

图11－4
　　如图11－4，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草场地面积是多少？并说明你的猜想是正确的．
　　
　　
　　七、（本题满分12分）
　　27．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请售答以下问题：
　　（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
　　（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x函数关系式（不必写出x的取值范围）；
　　（3）商店想在月销售成本不超过1000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
　　
　　
　　八、（本题满分12分）
　　28．如图12，在矩形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动．
　　如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么：

图12
　　（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
　　（2）求四边形QAPC的面积；提出一个与计算结果有关的结论；
（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？
数学试卷参考答案及评分标准
　　一、填空题（每小题2分，共20分）
　　1． ； 2．（a－b＋1）（a－b－1）； 3．6； 4．y2－y－2＝0；
　　5．1＜d＜9； 6．12.5%； 7．45mm； 8． ＝1；
　　9．y＝ ； 10．26；
　　二、选择题（每小题2分，共20分）
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 D C B A C A B D C B
　　三、（本大题共2个小题；每个小题8分，共16分）
　　21．解：
　　       ＝
　　       ＝
　　       ＝6．
　　22．证明：在梯形ABCD中，
　　∵　AB∥CD，AD＝BC，
　　∴　AC＝BD，
　　∵　DC＝CD，
　　∴　△ADC≌△BCD，
　　∴　∠ACD＝∠BDC，
　　∴　OD＝OC．
　　四、（本大题共2个小题；每小题8分，共16分）

　　23．解：连结PO并延长，交⊙O于点C、D．
　　根据切割线定理的推论，有PA•PB＝PC•PD．
　　∵　PB＝PA＋AB＝4＋5＝9，
　　PC＝OP－4.5，PD＝OP＋4.5，
　　∴　（OP－4.5）（OP＋4.5）＝4×9
　　OP2＝36＋20.25＝56.25，
　　∴　OP＝±7.5．
　　又OP为线段，取正数得OP＝7.5（cm），
　　∴　点P到圆心O的距离为7.5mm．
　　24．（1）
平均数 方差 中位数 命中9环以上次数
甲 7 1.2 7 1
乙 7 5.4 7.5 3
（每空1分）
　　（2）①∵　平均数相同，S2甲＜S2乙　∴　甲成绩比乙稳定
　　②∵　平均数相同，甲的中位数＜乙的中位数　∴　乙的成绩比甲好些
　　③∵　平均数相同，命中9环以上的次数甲比乙少　∴　乙成绩比甲好些
　　④甲成绩在平均数上下波动；而乙处于上升势头，从第4次以后就没有比甲少的情况发生，乙较有潜力．
　　五、（本题满分12分）
　　解：
　　（1）由图可以看出：自行车出发较早，早3个小时；
　　          摩托车到达乙地较早，早3个小时．
　　（2）对自行车而言：行驶的距离是80千米，耗时8个小时，
　　          所以其速度是：80÷8＝10（千米/时）；
　　  对摩托车而言：行驶的距离是80千米，耗时2个小时，
　　          所以其速度是：80÷2＝40（千米/时）．
　　（3）设表示自行车行驶过程的函数解析式为：y＝kx，
　　∵　x＝8时，y＝80，
　　∴　80＝8k，解得k＝10，
　　∴　表示自行车行驶的函数解析式为y＝10x；
　　设表示摩托车行驶过程的函数解析式为：y＝ax＋b，
　　∵　x＝3时，y＝0，而且x＝5时，y＝80；
　　∴　 ，解得 ．
　　∴　表示摩托车行驶过程的函数解析式为y＝40x－120．
　　（4）在3＜x＜5时间段内两车均行驶在途中，
　　自行车在摩托车前面：10x＞40x－120，
　　两车相遇：10x＝40x－120，
　　自行车在摩托车的后面：10x＜40x－120．
　　说明：若由图按三种情形直接写为3＜x＜4，x＝4，4＜x＜5可参照以上标准给分．
　　六、（本题满分12分）
　　解：画图（要求对应点在水平位置上，宽度保持一致）

　　S1＝ab－b，S2＝ab－b，S3＝ab－b（每空2分）
　　猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍然是ab－b
　　方案：1．将“小路”沿在左右两个边界“剪去”；
　　   2．将左侧的草地向右平移一个单位；
　　   3．得到一个新的矩形（如右图）．
　　理由：在新得到的矩形中，其纵向宽仍然是b，
　　   其水平方向的长变成了a－1，
　　   所以草地面积就是b（a－1）＝ab－b．
　　说明：在前面的三个图形中，常规的办法是利用平行四边形（或分割成多个平行四边形）的面积计算来求阴影部分的面积，进而计算空白部分的面积．
　　但是当阴影部分的左右边界由折线变为任意的曲线时，计算的方法已经不再适用，因此我们考虑图形的拆分和拼接，利用平移得到空白部分构成的“简单”图形来计算草地面积．
　　七、（本题满分12分）
　　解：
　　（1）当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500－（55－50）×10＝450（千克），
　　所以月销售利润为：（55－40）×450＝6750（元）．
　　（2）当销售单价定为每千克x元时，月销售量为［500－（x－50）×10］千克，而每千克的销售利润是：（x－40）元，所以月销售利润为：
　　y＝（x－40）[500－（x－50）×10]
　　 ＝（x－40）（1000－10x）＝－10x2－1400x－40000（元），
　　∴　y与x的函数解析式为y＝－10x2＋1400x－4000．
　　（3）要使月销售利润达到8000元，即y＝8000元，∴－10x2＋1400x－40000＝8000，
　　即：x2－140x＋4800＝0，
　　解得：x1＝60，x2＝80．
　　当销售单价定为每千克60元时，月销售量为500－（60－50）×10＝400（千克），
　　月销售成本为：40×400＝16000（元）；
　　月销售单价定为每千克80元时，月销售量为：500－（80－50）×10＝200（千克），
　　月销售成本为：40×200＝8000（元）；
　　由于8000＜10000＜16000，而月销售成本不能超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元．
　　八、（本题满分12分）
　　解：
　　（1）对于任何时刻t，AP＝2t，DQ＝t，QA＝6－t．
　　当QA＝AP时，△QAP为等腰直角三角形，
　　即：6－t＝2t，解得：t＝2（秒），
　　所以，当t＝2秒时，△QAP为等腰直角三角形．
　　（2）【方法一】在△QAC中，QA＝6－t，QA边上的高DC＝12，
　　∴　S△QAC＝ QA•DC
　　     ＝ （6－t）•12＝36－6t．
　　在△APC中，AP＝2t，BC＝6，
　　∴　S△APC＝ AP•BC
　　     ＝ •2t•6＝6t．
　　∴　SQAPC＝S△QAC＋S△APC＝（36－6t）＋6t＝36（厘米2）．
　　由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变（也可提出：P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变）
　　【方法二】提示：也可用矩形ABCD的面积减去△QDC和△APC的面积来计算．
　　（3）根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD中：
　　①当 时，△QAP∽△ABC，那么有：
　　  ，解得t＝ ＝1.2（秒），
　　 即当t＝1.2秒时，△QAP∽△ABC；
　　②当 时，△QAP∽△ABC，那么有：
　　  ，解得t＝3（秒），
　　 即当t＝3时，△QAP∽△ABC；
　　所以，当t＝1.2秒或3秒时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．