问题: 高一数学
自点A(-3,3)发出的光线l射到y轴上,被x轴反射,其反射光线所的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切,求光线l所在的直线方程。
需要具体过程
解答:
圆方程为x2+y2-4x-4y+7=0
===> (x-2)^+(y-2)^=1
它是以(2,2)为圆心,r=1的圆。
设自点A(-3,3)发射的光线l的斜率为k,则:
y-3=k(x+3)===>y=kx+3k+3
它与x轴的交点(即反射点)的坐标为(-3-3/k,0)
那么,根据反射关系,经x轴反射之后,反射光线l2所在的直线的斜率=-k。它也经过上述反射点。因此,l2的直线方程为:
y-0=-k(x+3+3/k)
===> y=-kx-3k-3
===> kx+y+3k+3=0
该直线与圆相切,那么圆心到直线l2的距离等于圆的半径。因此:
D=|2k+2+3k+3|/√(k^+1)=r=1
===> (5k+5)^=k^+1
===> 12k^+25+12=0
===> (3k+4)(4k+3)=0
===> k1=-3/4,k2=-4/3
当k=-4/3时,入射光线是先经过与x轴的反射,在经过y轴,最后与圆相切。这与题目所给的不一致,因此舍去k2.(当然,它也满足反射、相切的条件。若题目只说经过与x轴反射,并与圆相切,那么它也是其中之一。)
故,入射光线l的斜率为k=-3/4
所以,其直线方程为:y-3=(-3/4)(x+3).
即:3x+4y-3=0
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