问题: 高一数学解析几何
已知直线L:y=k(x+2√2) 与圆 O:x²+y²=4相交于A,B 两点， O为坐标原点，三角形ABO 的面积为S，(1)试将S 表示成k 的函数，并指出它的定义域，(2) 求 S的最大值，并求取得最大值时k的值
解答:
把y=k(x+2√2)代入x²+y²=4,得(1+k²)x²-4√2k²x+4(2k²-1)=0…(*),设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4√2k²/(1+k²),x1x2=4(2k²-1)/(1+k²)
|AB|²=(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2=16(1-k²)/(1+k²),点O到AB的距离
d=2√2|k|/√(1+k²).
(1) S=0.5|AB|×d=4√2|k|√(1-k²)/(1+k²)由(*)式的判别式△≥0,得|k|<1,显然k≠0(否则△ABO不存在), ∴ 定义域是k∈(-1,0)∪(0,1)
(2) 设t=|k|√(1-k²)/(1+k²)…(**),则(1+t²)k^4-(1-2t²)k²+t²=0,
∵ △=(1-2t²)²-4t²(1+t²)≥0, ∴ 0<t²≤1/8, 0<|t|≤√2/4.
∴ S≤4√2×(√2/4)=2, ∴ S(max)=2,此时t=√2/4,把它代入(**)式,得k=±√3/3.
∴ S的最大值为2，此时k的值为±√3/3
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