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问题: 三角形证明题

△ABC中,BC>CA>AB,AD与BE为角平分线,AD与BE相交于I,求证:IE>ID。

解答:

△ABC中,BC>CA>AB,AD与BE为角平分线,AD与BE相交于I,求证:IE>ID。

证明 设BC=a,CA=b,AB=c,s=(a+b+c)/2,则有
ID={a√[sbc(s-a)]}/[s(b+c)];
IE={b√[sca(s-b)]}/[s(c+a)];

{b√[sca(s-b)]}/[s(c+a)]>{a√[sbc(s-a)]}/[s(b+c)]
<==> (b+c)*[√[b(s-b)]>(c+a)*√[a(s-a)];
<==> b(c+a-b)*(b+c)^2>a(b+c-a)*(c+a)^2
<==> -(c+a)*(b+c)(a+b+c)(a-b)+(a^2+b^2+ac+bc)*(a+b+c)(a-b)>0
<==> (a+b+c)*(a-b)*(a^2+b^2-ab-c^2)>0
因为C角最小,小于60角,故a^2+b^2-ab-c^2>0,
又a>b.所以成立。

过内心I作ID'⊥BC交BC于D',IE'⊥CA交CA于E',则ID'=IE'。
欲证IE>BD,只需证EE'>DD'。
因为BC>CA>AB,所以DD'=BD-BD',EE'=AE-AE'
而BD'=(c+a-b)/2,BD=ac/(B+C); AE'=(b+c-a)/2,AE=bc/(c+a)。
所以EE'>DD'等价于
bc/(c+a)-(b+c-a)/2>ac/(b+c)-(c+a-b)/2
<==> a-b>c(a-b)*(a+b+c)/[(b+c)*(c+a)]
<==> (a-b)*ab/[(b+c)*(c+a)]>0。显然成立。