问题: 初中-几何问题
P是△ABC中任一点，P至三边距离分别为PD,PE,PF，问P在何处时, 才使PD^2+PE^2+PF^2为最小.
解答:
令BC=a，CA=b，AB=c，S是△ABC的面积。
根据面积公式，显然有:
a*PD+b*PE+c*PF=2S (1)
由柯西不等式得:
(a^2+b^2+c^2)*(PD^2+PE^2+PF^2)≥(a*PD+b*PE+c*PF)^2==4S^2
所以有
PD^2+PE^2+PF^2≥4S^2/(a^2+b^2+c^2) (2)
当且仅当P为△ABC的类似重心时等号成立。
因此对于任意△ABC，PD^2+PE^2+PF^2的最小值为:
4S^2/(a^2+b^2+c^2).
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)],(其中p=(a+b+c)/2)求出S
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