问题: 中考-不等式
设O为△ABC内一点，AO,BO,CO各交对边BC,CA,AB于点D,E,F。求证:
(1),AO/OD+BO/OE+CO/OF>=6; (2), AO*BO*CO/(OD*OE*OF)>=8.
解答:
设O为△ABC内一点，AO,BO,CO各交对边BC,CA,AB于点D,E,F。求证:
(1),AO/OD+BO/OE+CO/OF>=6; (2), AO*BO*CO/(OD*OE*OF)>=8.
证明 设AO=x, BO=y, CO=z; OD=k, OE=m, OF=n.△ABC,△OBC,△OCA,△OAB的面积分别为S,S1,S2,S3.
(1),因为 (x+k)/k=(S1+S2+S3)/S1，故x/k=(S2+S3)/S1.
同理可得: y/m=(S3+S1)/S2; z/n=(S1+S2)/S3.
故 x/k+y/m+z/n=(S2/S1+S1/S2)+(S3/S2+S2/S3)+(S1/S3+S3/S1)>=
2+2+2=6.
(2),xyz/(knm)=(S2+S3)*(S3+S1)*(S1+S2)/(S1*S2*S3)
而(S2+S3)*(S3+S1)*(S1+S2)>=8*S1*S2*S3,为已知不等式,故得:
xyz>=8kmn.
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