有五个相似三角形，且较小的四个可以互不重叠地放在大的内部，求证: 这四个小三角形的周长之和不大于大三角形周长的2倍.

有五个相似三角形，且较小的四个可以互不重叠地放在大的内部，求证: 这四个小三角形的周长之和不大于大三角形周长的2倍.
证明 设大三角形为△ABC面积与周长分别为S,p。四个小三角形△A1B1B1，△A2B2C2，△A3B3C3，△A4B4C4面积与周长依次为S1,p;S2,p2;S3,p3;S4,p4。因为五个三角形都相似，所以我们有:
S1/S=(p1/p)^2; S2/S=(p2/p)^2; S3/S=(p3/p)^2; S4/S=(p4/p)^2.
即 (S1+S+S3+S4)/S=(p1/p)^2+(p2/p)^2+(p3/p)^2+(p4/p)^2
又因为较小的四个可以互不重叠地放在大的内部, 所以
S>=S1+S2+S3+S4,
即得p^2>=(p1)^2+(p2)^2+(p3)^2+(p4)^2>=(p1+p2+p3+p4)^2/4
<==> 2p>= p1+p2+p3+p4. 证毕。
取△ABC各边的中点的组成四个全等的小三角形,这时可取到等号。