问题: 面积问题
设△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2的边长与面积分别为[a,b,c,S]，[a1,b1,c1,S1],[a2,b2,c2,S2]. 且a=a1+a2; b=b1+b2; c=c1+c2. 求证:S^2>=16S1*S2.
解答:
证明 设△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2的半周长分别为p,p1,p2.则
p=p1+p2, p-a=p1-a1+p2-a2, p-b=p1-b1+p2-b2, p-c=p1-c1+p2-c2,
所以据均值不等式得:
p^2>=4p1*p2,
(p-a)^2>=(p1-a1)*(p2-a2),
(p-b)^2>=(p1-b1)*(p2-b2),
(p-c)^2>=(p1-c1)*(p2-c2).
再由海仑公式得:
S^2=p^2*(p-a)^2*(p-b)^2*(p-c)^2
>=4p1*(p1-a1)*(p1-b1)*9p1-c1)*4p2*(p2-a2)*(p2-b2)*(p2-c2)
=16(S1)^2*(S2)^2.得证。
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