设正五边形ABCDE的五个顶点中，每两点连成一线段，这样十条线段的平方和记为Q，其中每三点连成一个三角形，这样十个三角形面积平方和记为P. 求证:Q^2/P=80.

设正五边形ABCDE的五个顶点中，每两点连成一线段，这样十条线段的平方和记为Q，其中每三点连成一个三角形，这样十个三角形面积平方和记为P. 求证:Q^2/P=80.
证明 设正五边形的边长为a, 因正五边形的五条对角线相等，令对角线长为b.
则有a:b=(b-a):a，[这个等式用相似三角形可得]
所以得:b^2-ab-a^2=0
<==> a^4+b^4=3a^2*b^2.
因此有
Q^2=[5(a^2+b^2)]^2=25(a^4+b^4+3a^2*b^2)=125a^2*b^2. (1)
正五边形ABCDE的五个顶点，其中每三点连成一个三角形，这十个三角形有两种等腰三角形, 即a,b,b和a,a,b两种。故
P=5[S(abb)]^2+5[S(aab)]^2
=5[(b/2)*√(a^2-b^2/4)]^2+5[(a/2)*√(b^2-a^2/4)]^2
=(5/16)*[4a^2*b^2-b^4+4a^2*b^2-a^4]=25a^2*b^2/16. (2)
故得:Q^2/P=80。命题得证。