问题: 正多边形问题
己知a,b,c分别圆O的内接正五边形，正六边形和正十边形，求证:a^2=b^2+c^2。
解答:
己知a,b,c分别圆O的内接正五边形，正六边形和正十边形，
求证:a^2=b^2+c^2。
证明 设外接圆半径为1，则
a=sin(π/5) ，b= sin(π/6)=1/2，c= sin(π/10) 。
令T=[sin(π/5)]^2-1/4-[ sin(π/10)]^2
T=1-[cos(π/5)]^2-1/4-[1- cos(π/5)]/2
4T=4-4*[cos(π/5)]^2-1-2*[1- cos(π/5)]
4T=-4*[cos(π/5)]^2+2 *cos(π/5)+1
注意到: cos(π/5)=(1+√5)/4, 将其代入T式中得T=0。
所以[sin(π/5)]^2=1/4+[ sin(π/10)]^2，即a^2=b^2+c^2。
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