问题: 正多边形猜想
刚才看到如下两个命题
求证: 圆内接正八边形的面积为同圆内接正方形面积与外切正方形面积的比例中项。
求证: 圆内接正六边形的面积为同圆内接正三角形面积与外切正三角形面积的比例中项。
那么是否有:
猜想 圆内接正2n边形的面积为同圆内接正n边形面积与外切正n边形面积的比例中项。
解答:
这种联想极好，猜想成立。有如下命题;
命题 圆内接正2n边形的面积为同圆内接正n边形面积与外切正n边形面积的比例中项。
简证如下 设圆内接正2n边形[正n边形,]的半径为R。则有
S(圆内接正2n边形)=S=n*R^2*sin(180°/n);
S(圆内接正n边形)=S1=n*R^2* sin(360°/n)/2;
S(圆外切正n边形)=S2=n*R^2tan(180°/n).
故得: S1*S2=n^2*R^4[sin(360°/n)]^2=S^2.证毕。
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