问题: 2003^2004与2004^2003比大小
这两个数谁大谁小
解答:
n>2,求证:n^(n+1)>(n+1)^n
证：n^(n+1)-(n+1)^n
=n^(n+1)-[n^n+n*n^(n-1)+(Cn2)*n^(n-2)+……+(Cnn)*1]
=n^(n+1)-[2n^n+(Cn2)*n^(n-2)+……+(Cnn)*1]
=(n-2)*n^n-[(Cn2)*n^(n-2)+……+(Cnn)*1]
=(n-2)*n^n-{[(n-1)*n^(n-1)]/2+[(n-1)(n-2)*n^(n-2)]/6+……+1}
>(n-2)*n^n-(n-1)(n-2)*n^(n-1)/2
=(n-2)*n^n[n-(n-1)/2]
=(n-2)*(n^n)*(n+1)/2
n>2时，n-2>0,n^n>0,n+1>0,所以(n-2)*(n^n)*(n+1)/2
即n^(n+1)-(n+1)^n>0
所以n^(n+1)>(n+1)^n得证
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