问题: 充分必要条件
证明:a^2+b^2能被3整除的充分必要条件是a,b同时能被3整除.
解答:
以下字母均表示正整数.
1.证充分性:
当a,b同时能被3整除,设a=3p,b=3q,
则a^2+b^2=3(3p^2+3q^2)能被3整除.
充分性证毕.
2.证必要性:
当a^2+b^2能被3整除(*)时,
(1)若a,b中只有1个不能被3整除,不妨设a=3p,b=3q±1,
则a^2+b^2=3(3p^2+3q^2±2q)+1不能被3整除,与(*)矛盾.
(2)若a,b都不能被3整除,设a=3p±1,b=3q±1,
则a^2+b^2=3(3p^2±2p+3q^2±2q)+1不能被3整除,与(*)矛盾.
所以当a^2+b^2能被3整除时,a,b都只能被3整除.
必要性证毕.
由上可知,a^2+b^2能被3整除的充分必要条件是a,b同时能被3整除.
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