不等式问题
设x,y,z为正实数，求证:
(2x^2+yz)/(y^2+z^2)+(2y^2+zx)/(z^2+x^2)+(2z^2+xy)/(x^2+y^2)>=9/2.

设x,y,z为正实数，求证:
(2x^2+yz)/(y^2+z^2)+(2y^2+zx)/(z^2+x^2)+(2z^2+xy)/(x^2+y^2)>=9/2.
证 存在如下三个局部不等式
2yz/(y^2+z^2)≥yz(2x^2+3yz-y^2-z^2)/(y^2z^2+z^2x^2+x^2y^2);
2zx/(z^2+x^2)≥zx(2y^2+3zx-z^2-x^2)/(y^2z^2+z^2x^2+x^2y^2);
2xy/(x^2+y^2)≥xy(2z^2+3xy-x^2-y^2)/(y^2z^2+z^2x^2+x^2y^2).
由柯西不等式得:
2x^2/(y^2+z^2)+2y^2/(z^2+x^2)+2z^2/(x^2+y^2)≥
(x^2+y^2+z^2)^2/(y^2z^2+z^2x^2+x^2y^2).
所以我们只需证
2(x^2+y^2+z^2)^2+2xyz(x+y+z)+3(y^2z^2+z^2x^2+x^2y^2)-yz(y^2+z^2)-zx(z^2+x^2)-xy(x^2+y^2)≥9(y^2z^2+z^2x^2+x^2y^2)
<==>2(x^4+y^4+z^4)-yz(y^2+z^2)-zx(z^2+x^2)-xy(x^2+y^2)-2(y^2z^2+z^2x^2+x^2y^2)+2xyz(x+y+z)≥0
因为上式是完全对称式，不失一般性，设x=min(x,y,z)，上式可化简为
x(2x+y+z)*(x-y)*(x-z)+(2y^2+3yz+2z^2-xy-xz-x^2)*(y-z)^2≥0
在x=min(x,y,z)假设下，显然成立。证毕。