问题: 周长问题
周长问题
设D,E,F分别是正△ABC三边BC,CA,AB上的任意点，求证:△DEF的周长不小于△ABC周长的一半。
解答:
周长问题
设D,E,F分别是正△ABC三边BC,CA,AB上的任意点，求证:△DEF的周长不小于△ABC周长的一半。
用对称变换做很简单。下面给一种代数证法.
证 设正△ABC的边长为a，AF=x，BD=y，CE=z，则BF=a-x，CD=a-y，AE=a-z。
在△AEF中，由余弦定理得:
EF^2=AF^2+AE^2-2AF*AE*cos60°=x^2+(a-z)^2-x(a-z)≥[(x+a-z)/2]^2.由此得:
EF≥(x+a-z)/2 (1)
同理得:
FD≥(y+a-x)/2 (2)
DE≥(z+a-y)/2 (3)
(1)+(2)+(3)得: EF+FD+DE≥3a/2。命题得证。
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