在四边形ABCD中，∠A+∠C=90°, 求证
(AB*CD)^2+(BC*DA)^2=(AC*BD)^2

四边形ABCD中，∠A+∠C=90°, 求证
(AB*CD)^2+(BC*DA)^2=(AC*BD)^2
证明 在四边形ABCD内取点E，使∠EDC=∠BAC，∠ECB=∠ACD，则∠ECD=∠ACB，故ΔECD∽ΔBCA，即CD/AC=DE/AB=CE/BC，从而DE=AB*CD/AC，
连结BE，因为DE/AB=CE/BC，∠ECB=∠ACD，所以ΔECB∽ΔDCA，故BC/AC=BE/AD
从而BE=AD*BC/AC。
由于∠BED=360°-∠BEC-∠DEC=360°-∠ADC-∠ABC=∠BAD+∠BCD=90°。
所以在Rt△BED中,BE^2+DE^2=BD^2，于是
(AD*BC/AC)^2+(AB*CD/AC)^2=BD^2，
<==> (AB*CD)^2+(BC*DA)^2=(AC*BD)^2。命题得证。
备注:
(1)， 当∠A+∠C=120°时，有
(AB*CD)^2+(BC*DA)^2+AB*CD*BC*DA=(AC*BD)^2
(2)， 此命题可直接运用四边形余弦定理直接证得:
(AC*BD)^2=(AB*CD)^2+(BC*DA)^2-2AB*BC*CD*DA*cos(A+C) 。