在△ABC的BC,CA,AB上分别取点D,E,F，使得AF/FB=BD/DC=CE/EA=t/(1-t) ，以线段AD,BE,CF长为三边的三角形面积为T，△ABC的面积为S，求T的表达式。

在△ABC的BC,CA,AB上分别取点D,E,F，使得AF/FB=BD/DC=CE/EA=t/(1-t) ，以线段AD,BE,CF长为三边的三角形面积为T，△ABC的面积为S，求T的表达式。

解 过A与C分别AH∥CF，CH∥AB，交于H，则AFCH为平行四边形。连DH,EH,则
CH/CE=AF/CE=t*AB/t*CA=AB/CA，∠HCE=∠BAC，
故△CHE∽△ABC，于是有 HE=(BC/CA)*CE=t*BC=BD。
又∠CEH=∠ACB，所以BDHE是平行四边形，DH=BE。于是△ADH就是一个以AD,BE,CF为三边长的三角形。
T=S(ADH)=S(ABC)+S(ACH)-S(ABD)-S(DCH).
而 S(ACH)=S(ACF==)=AF*S(ABC)/AB=t*S;
同理 S(ABD)=t*S.
S(DCH)=[CD*CH*sin∠DCH/AB*CA*sin∠ABC]*S(ABC)
=t*(1-t)*S*[sin(180 °-∠ABC)/sin∠ABC]=t(1-t)*S.
因此 T=S+tS-tS-t(1-t)S=(t^2-t+1)S。

备注:当t=1/2时，AD,BE,CF是中线，那么中线三角形的面积是原三角形面积四分之三。